Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 3 & - 9 \\ - 2 & 5 \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 5 - (- 2 \cdot - 9)$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 - (- 2 \cdot - 9)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- (- 2 \cdot - 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 9$ .

$15 - 1 \cdot 18$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$15 - 18$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $18$ da $15$ .

$- 3$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica $- \frac{1}{3}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 5 & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

$- 5$ e $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 (3)) \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.3.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.3.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 1 \cdot 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - 2 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.5.2

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ \frac{- 2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.7.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.7.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & - 1 \end{array}]$